Les nombres premiers [Confinement, jour 31]

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Tiens, 31, un nombre premier. Ce n’est pas le premier, car avant lui on peut trouver 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23 et 29, les autres étant divisibles par autre chose que par 1 et par eux-mêmes.

Pourquoi les nombres premiers fascinent-ils ?

Plusieurs raisons amènent les mathématiciens à vouer un culte certain pour les nombres premiers, parmi lesquelles :

  • leur dispersion irrégulière dans la lignée des nombres naturels (sans virgules)
  • la sécurité qu’ils apportent (les certificats de cryptage et de décryptage exploitent des nombres premiers à plus de 100 chiffres)
  • l’ingéniosité à déployer pour les trouver et les tester (on parle de complexité algorithmique)

Les caractéristiques des nombres premiers sont :

  • divisibles uniquement par eux-mêmes et 1
  • toute division par un autre nombre entraîne un résultat non naturel (à virgule ou sous forme de fraction)
  • ils ne sont le résultat d’aucun carré, cube ou tout autre exposant supérieur à 1
  • leur racine carrée, cubique ou autre donnera nécessairement un nombre non naturel
  • aucune règle ne permet de prédire si un nombre qui en suit un autre est premier ou non
  • tous les nombres pairs supérieurs à 2 ne sont pas premiers
  • tous les nombres finissant par 0 ou 5 supérieurs à 5 ne sont pas premiers
  • tous les nombres dont la somme des chiffres est un multiple de 3 ne sont pas premiers
  • il y a une infinité de nombres premiers, mais moins que de nombres naturels (oui, certains infinis sont moins nombreux que d’autres…)

Et parmi les nombres premiers, on a des sous-groupes, comme les premiers super-réguliers, de Pythagore, de Mersenne… Allez voir la page Wikipédia si le sujet vous intéresse !

Y a-t-il d’autres nombres de la sorte ?

Il y en a tant est plus, que je ne saurais tous les décrire ici. Parmi les plus connus, citons :

  • les nombres parfaits (égaux à la somme de leurs diviseurs excepté eux-mêmes, comme 6 = 1+2+3)
  • la suite de Fibonacci, où chaque élément est la somme des 2 précédents : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
  • les carrés : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49…
  • la suite de Conway, assez connue des énigmes : 1, 11 (un 1), 21 (deux 1), 1211 (un 2, un 1)…
  • les nombres figurés, que l’on peut représenter par des figures géométriques : triangles (3, 6…), hexagones (7, 19…), cubes (8, 27…), etc.

A savoir

Il n’est pas nécessaire d’aimer les mathématiques pour aimer les nombres.